גליון אדר א' תש"ס בענין הפאי (צבע כתום).

הערה: להלן יכונה הערך פאי כ – p.

טענה:

חז"ל לא ידעו את חשבון ה .P חשבון זה היה ידוע כבר לארכימדס לפני כ 2300 שנה לפי האומדן 3.14 ולהירון לפני כ 1900 שנה לפי אומדן של 3.14159 .

תשובה:

א.      למען האמת היה הערך P ידוע בעולם הקדום מאוד. לפני 3500 שנה הוא הוערך 3.16 במצרים (Egyptian Rhind Papirus). בסין כבר לפני 2250 שנה חושב הערך של p לפי 142/45=...3.155555 . לפני 1550 שנה חושב שוב הערך בסין ...3.1415929=355/113 .

ב.      אין שום ראיה לכך שחז"ל לא ידעו על ה .P כפי שכבר כתב הרמב"ם בעניין. כל הערכה של P תגלה בורות באשר המספר הינו טרנצנדנטי ולכן כל מספר של ספרות המנסות לציין את הערך הזה לא תספקנה. הסברה נותנת שחז"ל הסתפקו בשיעור 3:1 כשיעור מספק מבחינת דיוקו לצרכי ההלכה, מבחינה זו נקטו חז"ל בדרך של פסיקה המסתפקת באומדנים גסים באשר לא ניתנה תורה למלאכי השרת אלא לבני אדם הצריכים לתפקד בצורה מציאותית. מטעם זה גם נפסקה ההלכה, בענין שרצים שאינם נראים בעין בלתי מזויינת אלא רק באמצעות מכשירים אופטיים, שאין בהם איסור.

ג.        הראיות המובאות כהוכחה לאי ידיעת הערך של P על ידי חז"ל אינן עומדות על רגליהן. לשם כך מומלץ לעיין ב"תחומין" כרך יט שם פורסם מאמרו של אדריכל צבי שפלטר שהוכיח שכל המקורות מהם מנסים ללמוד על אי ידיעת P על ידי חז"ל עוסקים בגופים תלת מימדיים חרוטיים. אדרבא מתוך ניתוח בגישה של ניתוח חרוטים, זו המתאימה יותר למקורות שמהם נשאבה הדעה שחז"ל לא ידעו על ערך ,P מסתבר שחז"ל ידעו על ערך  Pבדרגת דיוק טובה מאוד. לדוגמה בחישובי המעגל של סוכה העשויה ככבשן משתמע דיוק של 3.14 .

ד.      יתירה מזאת, יש מקום לסבור שכבר בימי שלמה המלך ייתכן וידוע היה ערכו של P בדרגה טובה למדי. כידוע שלמה המלך בנה אגן גדול עגול של מים לצרכי טהרת הכהנים במקדש. המקרא מפרט את מידותיהם של בנין המקדש וכליו ולכן גם את האגן. האגן הזה קרוי במקרא בשם - ים, ים של שלמה. פירוט העניין מוזכר במלכים א פרק ז פסוקים כג לז. כמו כן מופיע הפירוט בדברי הימים ב פרק ד פסוקים ב - ו. המקורות הללו משמשים מקור התייחסות לכל חישובי P שנעשו מכאן ואילך בכל הספרות העברית. במקורות המקראיים יש את הנתונים הבאים:

הקוטר הינו 10 אמות.

היקף הים היה 30 אמות.

עובי הים היה טפח.

      עובי שפת הים היה יחסית זעום - כשפת כוס פרח שושן(לשון המקרא).

מן הנתונים א, ב, משמע לכאורה ש P היה 3 . אין מכאן שום מסקנה הכרחית לגבי הידע של המהנדסים שבנו את הים. יש להבחין היטב בין ידע מתימטי ליכולת הנדסית. נוסיף לכך שהמדובר במקרא הוא בעבודת יציקה מסובכת מאוד באשר גם היום עבודת יציקה של נחושת בגודל כזה (כמו בפעמוני ענק) עשויה להכשל במקרים רבים (לדוגמה הפעמון הענקי שב"גן הפעמון" בירושלים סדוק), חריגה מערך P של 0.14159 ביציקה כזאת בתנאי היציקה של ימי קדם הייתה מביאה בסיכוי רב להיסדקות הים. ייתכן מאוד שהאומדן של עובי ה"ים" הינו די גס משום שעוביו לא היה בשיעור יציב לחלוטין. יתירה מזאת באגן כזה גדול קשה שלא להבחין בפערים בין חישוב ההיקף לקוטר, שהרי מדובר בכאמה וחצי. כמו כן ייתכן שלצורך התאור ההנדסי הזה סטייה של ...0.14159 מ P לא הייתה משמעותית מבחינת המטרה של הכלי. ומה בכך אם שפת הכלי הייתה בצורה אליפטית מעט!?.

נשאלת השאלה למה מתייחס המושג "ים". המושג "ים" מופיע במקרא פעמים רבות. ראשון שבהם "...ולמקוה המים קרא ימים..." בראשית א י. מסביר שם הרמב"ן "לפי שקרקע המקוה נקרא ים". הסבר כזה יש בעוד מקומות. ייתכן שכלפי חוץ נראה האגן - ים, בקו אחיד מבחוץ ואז השיפוע היה כלפי פנים. כלומר לפי ניתוח זה, חתך שפת האגן של שלמה היה עשוי כמו משולש ישר זוית כאשר היתר שלו הוא השיפוע של השפה לתוך הים ושני ניצביו האחרים הינם עובי האגן והמשך הקו החיצוני של האגן. יוצא אם כן שמדידת ה"ים" מתייחסת כנראה לפנים האגן (הקרקעית) והיא נעשתה אולי על גבי אימום היציקה של הים או בקרקעיתו בפועל. קוטרו מתייחס משפה לשפה כי השפה דקה למדי. בנסיבות אלו הקוטר הפנימי של ההיקף הינו בעצם של 10 אמות פחות 2 טפחים עובי האגן. בימי המקרא היתה אמה בת 5 טפחים. דבר זה נובע מן הגמרא במסכת מנחות צז. שם מוכח מספר יחזקאל שיש אמה מקראית בת 5 טפחים. לפי גישה זו מתקבל יחס של 150/48 יחס זה שווה ל 3.125 כאן תהיה כבר הסטיה מ P קטנה. אם לא נתעלם מעובי השפה, הרי שיתקבל ערך מדויק עוד יותר של  .Pהיינו לאור האמור במקרא ששפת האגן הייתה כשפת פרח שושן, היינו דקה, תשאל השאלה האם זה היה כך בערכו המוחלט או היחסי. שהרי האגן כולו נראה היה במידת מה כפרח פתוח חלקית. אם עובי האגן בשפתו לא היה חד ממש אלא חד יחסית לגודל האגן, נניח בעובי כאצבע וחצי, או שהוא היה מוטה מעט פנימה מן הקו החיצוני של האגן בשיעור כזה, אזי נקבל אפשרות של דיוק טוב מאוד של  .Pגם אם נניח שמדובר באמה בת 6 טפחים הרי אז נקבל בחשבון גס אומדן  Pשל 3.1 . בדרך דומה ניתן יהיה לערוך תחשיב חלופי אחר המסתמך על כך שה"ים" היה נראה כמו שושן. שהרי הכתוב אומר מפורשות "שפת פרח שושן" השושן הצחור עשוי כך שבכותרתו העליונה הוא נפתח מעט. במקרה כזה, שוב, ניתן להעריך שקוטר הים נמדד בשפתו ואילו היקפו במקום בו נמצאים המים. שוב, גם בדרך זו נוכל לקבל תחשיב של P המתיישב יפה עם מבנה הים.

יש מקום לציין שלמרבה הפלא במקום היחידי שבו מתואר במקרא איזה שהוא תחשיב מדוייק ממנו ניתן להסיק מסקנות על P ישנו קריא וכתיב. כשיש שינוי כזה יש לעמוד על כוונותיו המדוייקות. תופעה כזאת מציגה שני היבטים של המילה בה חל השינוי. בדרך כלל יש במקרים כאלו דיון בגמרא על המשמעויות השונות ועל ההשוואה שביניהם (בלשון חז"ל: "אם למסורת" ו"אם למקרא") הכתיב של מילת מיתאר קו המעגל בפסוק המתאר את היקף המעגל הינו "קוה" ואילו מסורת הקריאה שלו הינה "קו". היחס בין ה P לפי הפשט הראשוני בתאור, היינו 3 לבין ה P האמיתי היינו ...3.14159 , הינו 1.047197551 הגימטריה של קוה=5+6+100=111 ואילו של קו=6+100=106. היחס בין הכתיבה והקריאה הינו למרבה הפלא 1.047169811 וה P המתאים לו הינו לכן 3.1415 . היות ומדובר בדיוק בשיעור של שליש אחוז של אחוז, שהיה בעת ההיא דיוק מעבר לכל תחשיב ידוע, הרי עם כל זאת שייתכן וזוהי תוצאה מקרית, יש רגלים לדבר שאכן דברים בגו. הנסיון של ד"א לזלזל ב P של קדמונינו על ידי ציטוט מובאות ממקורות אחרים במקרא אודות המשמעות של המילה "קו" לא תעזור לו משום שקו המיתאר של המילה "קו" בפרשת הים של שלמה מתייחסת דווקא לתוואי המעגל ולא למיתאר אחר כפי שיש במקורות האחרים. גם הנסיון להציג את התחשיב ככוזב באשר הוא נוחץ ידיעה מוקדמת של ערך P הוא בבחינת הנחת המבוקש. היינו, כותב ד"א מניח שקדמונינו לא ידעו את ערך P ולכן לא ייתכן שהם הביעו את היחס הזה במקרא. נעלמה מעיניו השגיאה הלוגית שבטיעון.